Épluchez les pommes de terre et l'oignon, puis râpez-les dans une passoire. Ajoutez un peu de sel et laissez égoutter 10 minutes pour extraire l'excédent d'eau. Pressez le mélange avec les mains.
Placez le mélange de pommes de terre et d'oignons dans un grand saladier avec le persil haché, la feta émiettée, la farine et 1 œuf. Ajoutez une bonne pincée de sel et de poivre noir fraîchement moulu, puis mélangez.
Faites chauffer une cuillère à soupe d'huile dans une grande poêle à feu moyen. Pour préparer les beignets, utilisez environ deux cuillères à soupe de préparation pour chaque beignet et ajoutez-les à la poêle. Écrasez-les légèrement pour obtenir des rondelles d'environ 7 cm. Faites frire 2 ou 3 beignets à la fois, ou autant que vous pouvez en mettre dans votre poêle. Ce mélange devrait donner 4 beignets. Faites cuire 4 à 5 minutes de chaque côté jusqu'à ce qu'ils soient dorés et croustillants. Transférez les beignets dans une assiette et maintenez-les au chaud au four à feu doux pendant la cuisson des autres beignets.
Portez une grande casserole d'eau à ébullition. Ajoutez le vinaigre et laissez mijoter doucement. Cassez délicatement les œufs dans l'eau et laissez mijoter 3 à 4 minutes jusqu'à ce qu'ils soient cuits mais encore tendres à l'intérieur.
Retirez-les à l'aide d'une écumoire et égouttez-les sur du papier absorbant. Gardez-les au chaud au four pendant la cuisson des autres œufs.
Prévoyez deux beignets par personne, garnissez de saumon fumé et de deux œufs pochés par portion. Parsemez de ciboulette ciselée. Servez avec une salade verte.

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